以势能的求解为例，我们来了解一下格林函数。

假设空间有电荷量分布为$\rho(r)$,则根据高斯定理，我们有空间电场应该满足条件$$\nabla\cdot E(r)=\frac{\rho(r)}{\varepsilon_0},$$再根据$E(r)=-\nabla \phi(r)$，结合起来看，我们可以求得电势和电荷分布之间的关系$$-\nabla^2\phi(r)=\frac{\rho(r)}{\varepsilon_0},$$此即为泊松方程，进一步我们有
$$\begin{aligned}
-\nabla^2\phi(r_1)&=\frac{\rho(r_1)}{\varepsilon_0}\\
&=\frac{1}{\varepsilon_0}\int\delta(r_1-r_2)\rho(r_2)d^3r_2\\
&=\frac{1}{\varepsilon_0}\int[-\nabla^2G(r_1,r_2)]\rho(r_2)d^3r_2\\
&=-\nabla^2\left\{\frac{1}{\varepsilon_0}\int G(r_1,r_2)\rho(r_2)d^3r_2\right\}
\end{aligned}$$
其中$G(r_1,r_2)$即为格林函数。所以我们求解此泊松方程等价于求满足$$-\nabla^2G(r_1,r_2)]=\delta(r_1-r_2)$$的格林函数即可，然后在利用$$\phi(r_1)=\frac{1}{\varepsilon_0}\int G(r_1,r_2)\rho(r_2)d^3r_2$$可求得空间的电势分布。其实，根据电势叠加定理我们可以直接写出$$\phi(r_1)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(r_2)}{\left|r_1-r_2\right|}d^3r_2$$由此得到的格林函数$$G(r_1,r_2)=\frac{1}{4\pi}\frac{1}{\left|r_1-r_2\right|}$$与前式满足泊松方程所解得的格林函数是一致的。对于这种利用格林函数来求解微分方程的方法，我们可以理解为利用点电荷产生的势的叠加来求得总的势。

更一般的情况

设我们有算符$\mathcal{L}$，其作用在势分布函数$y(r)$上得到空间源分布$f(r)$，则我们有
$$\begin{aligned}
\mathcal{L}y(r)&=f(r)\\
&=\int\delta(r-r’)f(r’)dr’\\
&=\int \mathcal{L}G(r,r’)f(r’)dr’\\
&=\mathcal{L}\int G(r,r’)f(r’)dr’\\
\end{aligned}$$
并且
$$
\mathcal{L} G(r,r’)=\delta(r-r’)
$$$$
y(r)=\int G(r,r’)f(r’)dr’
$$

物理学中的一些格林函数

$$\begin{array}{c|ccc}
dim & \nabla^2 & \nabla^2+k^2 & \nabla^2-k^2\\
\hline
1 & \frac{1}{2}\left|x_1-x_2\right| & -\frac{i}{2k}\exp(ik\left|x_1-x_2\right|) & -\frac{1}{2k}\exp(-k\left|x_1-x_2\right|)\\
2 & \frac{1}{2\pi}\ln\left|\rho_1-\rho_2\right| & -\frac{i}{4}H_0^{(1)}(k\left|\rho_1-\rho_2\right|) & -\frac{1}{2\pi}K_0(k\left|\rho_1-\rho_2\right|)\\
3 & -\frac{1}{4\pi}\frac{1}{\left|r_1-r_2\right|} & -\frac{\exp(ik\left|r_1-r_2\right|)}{4\pi\left|r_1-r_2\right|} & -\frac{\exp(-k\left|r_1-r_2\right|)}{4\pi\left|r_1-r_2\right|}
\end{array}$$
其中$H_0^{(1)}$为Hankel函数，$K_0$是modified Bessel函数。

求得格林函数后，如果积分不容易，我们可以采用技术展开的方法来积分，例如波恩近似便是。