从微扰论出发，得到费米黄金法则，一句话总结：外电磁场作用下的原子态间跃迁几率与跃迁矩阵元的模量平方、末态态密度成正比

含时微扰论

系统哈密顿量为
$$H=H_0+W(t)$$
其中$W(t)$微扰，在没有微扰时，系统的本征态为$H_0\left|n\right>=E_n\left|n\right>$，我们设有微扰时的状态为
$$\begin{aligned}
H\left|\psi(t)\right>&=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\sum_n{c_n(t)\left|n\right>e^{-iE_nt/\hbar}}\\
&=i\hbar\sum_n{\frac{\partial c_n(t)}{\partial t}\left|n\right>e^{-iE_n t/\hbar}}+\sum_n{c_n(t)E_n\left|n\right>e^{-iE_n t/\hbar}}\\
&=\sum_n{c_n(t)W(t)\left|n\right>e^{-iE_n t/\hbar}}+\sum_n{c_n(t)E_n\left|n\right>e^{-iE_n t/\hbar}}
\end{aligned}$$
所以得到
$$\sum_n{c_n(t)W_{kn}e^{-iE_n t/\hbar}}=i\hbar \frac{\partial c_k(t)}{\partial t}e^{-iE_k t/\hbar}$$
$$
\frac{\partial c_k(t)}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar}\sum_n{c_n(t)W_{kn}e^{iE_{kn}t/\hbar}}
$$
初始时系统处于状态$\left|i\right>$，将$c_k(t)$进行微扰展开
$$c_k(t)=c_k^0(t)+c_k^1(t)+…$$
考虑到微扰是一阶微扰，所以我们有

零阶微扰

$$\frac{\partial c_k^0(t)}{\partial t}=0$$
所以
$$c_k^0(t)=\delta_{ik}$$

一阶微扰

$$\begin{aligned}
\frac{\partial c_k^1(t)}{\partial t}&=\frac{1}{i\hbar}\sum_n{c_n^0(t)W_{kn}e^{iE_{kn}t/\hbar}}\\
&=\frac{1}{i\hbar}W_{ki}e^{i\omega_{ki}t}
\end{aligned}$$

所以在一阶微扰近似下，我们得到$(f\neq i)$
$$\begin{aligned}
|\left|^2
&=|c_f(t)|^2\\
&=\left|\frac{1}{i\hbar}\int_0^t{W_{fi}e^{i\omega_{fi}t’}dt’}\right|^2
\end{aligned}$$

费米黄金法则

我们考虑最常见的简谐微扰，一般的微扰也可以通过傅里叶变换转化为简谐微扰。
$$W(t)=2W\cos(\omega t)=W(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})$$
所以求得末态的概率幅为
$$\begin{aligned}
c_f(t)&=\frac{1}{i\hbar}\int_0^t{W_{fi}(e^{i\omega t’}+e^{-i\omega t’})e^{i\omega_{fi}t’}dt’}\\
&=\frac{W_{fi}}{i\hbar}\left(\frac{e^{i(\omega_{fi}+\omega)t}-1}{i(\omega_{fi}+\omega)}+\frac{e^{i(\omega_{fi}-\omega)t}-1}{i(\omega_{fi}-\omega)}\right)
\end{aligned}$$
假设微扰的频率是近共振的，即$\omega \approx \omega_{fi}$，所以上式括号内第一项可以忽略，因为其分母比分子大很多，而第二项则不是。在此条件下有
$$\begin{aligned}
|\left|^2
&=\frac{W_{fi}^2}{\hbar^2}\left|\frac{e^{i(\omega_{fi}-\omega)t}-1}{i(\omega_{fi}-\omega)}\right|^2\\
&=\frac{W_{fi}^2}{\hbar^2}\left|\frac{e^{i(\omega_{fi}-\omega)t/2}-e^{-i(\omega_{fi}-\omega)t/2}}{i(\omega_{fi}-\omega)}\right|^2\\
&=\frac{W_{fi}^2}{\hbar^2}\left|\frac{\sin{(\omega_{fi}-\omega)t/2}}{(\omega_{fi}-\omega)/2}\right|^2\\
\end{aligned}$$
由于取了一阶微扰近似和旋波近似，所以此理论是有一定作用规范为的，必须满足$$\frac{1}{\omega}\approx\frac{1}{\omega_{fi}}\ll t \ll \frac{1}{|W_{fi}|/\hbar}$$所考虑的时间要比微扰的周期大得多但又要比能力差对应的时间尺度小很多。

末态为连续态

当末态是连续态时，跃迁概率应该为上述概率诚意态密度后的积分。
$$\begin{aligned}
p(t)
&=\int |\left|^2 \rho(E)dE\\
&=\int{\frac{W_{fi}^2}{\hbar^2}\left|\frac{\sin{(\omega_{fi}-\omega)t/2}}{(\omega_{fi}-\omega)/2}\right|^2\rho(E)dE}\\
&\approx\frac{W_{fi}^2\rho(E_{fi})}{\hbar^2}\int{\left|\frac{\sin{(\omega_{fi}-\omega)t/2}}{(\omega_{fi}-\omega)/2}\right|^2\hbar d\omega}\\
&\approx\frac{W_{fi}^2\rho(E_{fi})}{\hbar^2}\hbar(\frac{2}{t})t^2\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin^2x}{x^2}dx}\\
&=\frac{2\pi}{\hbar}W_{fi}^2\rho(E_{fi})t
\end{aligned}$$
第一个约等于是因为假设绝对值内是Delta函数（画图可知类似于），第二个约等于是因为积分号内的函数在频率很大时几乎为零，所以可以将积分限取为正负无穷。
传输率为$$\Gamma=\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{2\pi}{\hbar}W_{fi}^2\rho(E_{fi})$$

此理论做了无数的近似，我不知道最后结果跟实际结果差别到底有多大。。。