二能级系统是许多物理研究的基础，特别是量子光学。本文简单介绍半经典理论下（原子量子化、光场没有量子化）二能级系统的一些常用计算方法以及缀饰态的概念。

原始表象

我们设$\left|1\right>$为基态，$\left|2\right>$为激发态，能级差为$E=\hbar \omega_0$，选择能级中心为零势能点，则两个能级的能量本征值分别为$$E_1=-\hbar \omega_0/2,E_2=\hbar\omega_0/2.$$ 入射光频率为$\omega$，那么系统随时间演化的态和哈密顿量可写为
$$\begin{aligned}
\left|\psi(t)\right>&=a_1(t)\left|1\right>+a_2(t)\left|2\right>\\
&=\mathbf{a}^T\mathbf{n}\\
H&=-\frac{\hbar}{2}\omega_0\sigma_{11}+\frac{\hbar}{2}\omega_0\sigma_{22}+\frac{\hbar}{2}(\Omega^\dagger(t) e^{i\omega t}+\Omega(t) e^{-i\omega t})(\sigma_{12}+\sigma_{21})\\
&=-\frac{\hbar}{2}\omega_0\sigma_z+\frac{\hbar}{2}(\Omega^\dagger(t) e^{i\omega t}+\Omega(t) e^{-i\omega t})\sigma_x\\
&=H_0+V(t)
\end{aligned}$$
写出薛定谔方程可得概率幅随时间的演化公式
$$i\hbar\frac{d \mathbf{a}}{dt}=\mathbf{Ha}$$
其中$\mathbf{H},\mathbf{a}$分别为其矩阵形式。

相互作用表象

我们取
$$\begin{aligned}
\left|\psi(t)\right>&=b_1(t)e^{-iE_1t/\hbar}\left|1\right>+b_2(t)e^{-iE_2t/\hbar}\left|2\right>\\
&=b_1(t)e^{i\omega_0t/2}\left|1\right>+b_2(t)e^{-i\omega_0t/2}\left|2\right>
\end{aligned}$$
那么我们可以求出此表象与原始表象之间的关系
$$\mathbf{a}=e^{-i\mathbf{H_0}t/\hbar}\mathbf{b}=e^{i\omega_0t\sigma_z}\mathbf{b}=U_1^\dagger\mathbf{b}$$
$$\mathbf{b}=U_1\mathbf{a},\quad \mathbf{n}_I^T(t)=\mathbf{n}^TU_1^\dagger$$
则我们可以计算出新的表象下薛定谔方程和哈密顿量的形式为
$$\begin{aligned}
i\hbar\frac{d\mathbf{b}}{dt}&=i\hbar\left(\frac{dU_1}{dt}\mathbf{a}+U_1\frac{d\mathbf{a}}{dt}\right)\\
&=i\hbar\frac{dU_1}{dt}U_1^\dagger\mathbf{b}+U_1\mathbf{H}U_1^\dagger\mathbf{b}\\
&=\left(U_1\mathbf{H}U_1^\dagger+i\hbar\frac{dU_1}{dt}U_1^\dagger\right)\mathbf{b}\\
&=\mathbf{H}_1\mathbf{b}
\end{aligned}$$
可计算出新的哈密顿量为
$$\begin{aligned}
\mathbf{H}_1&=U_1\mathbf{H}U_1^\dagger+i\hbar\frac{dU_1}{dt}U_1^\dagger\\
&=U_1\mathbf{V}U_1^\dagger\\
&=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&\Omega^\dagger(t)e^{-i\delta t}+\Omega(t)e^{-i(\omega+\omega_0)t}\\\Omega(t)e^{i\delta t}+\Omega^\dagger(t)e^{i(\omega+\omega_0)t}&0\end{pmatrix}\\
&\approx\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&\Omega^\dagger(t)e^{-i\delta t}\\\Omega(t)e^{i\delta t}&0\end{pmatrix}
\end{aligned}$$
最后一式在旋波近似下成立。由此可见在相互作用表象下，最后的哈密顿量只剩下含时的（也可不含时）相互作用项。

场相互作用表象

我们取
$$
\left|\psi(t)\right>=c_1(t)e^{i\omega t/2}\left|1\right>+c_2(t)e^{-i\omega t/2}\left|2\right>
$$
那么我们可以求出此表象与原始表象之间的关系
$$\mathbf{a}=e^{i\omega t\sigma_z}\mathbf{c}=U_2^\dagger\mathbf{c}$$
$$\mathbf{c}=U_2\mathbf{a},\quad \mathbf{n}_F^T(t)=\mathbf{n}^TU_2^\dagger$$
则我们可以计算出新的表象下薛定谔方程和哈密顿量的形式为
$$\begin{aligned}
i\hbar\frac{d\mathbf{c}}{dt}
&=\left(U_2\mathbf{H}U_2^\dagger+i\hbar\frac{dU_2}{dt}U_2^\dagger\right)\mathbf{c}\\
&=\mathbf{H}_2\mathbf{c}
\end{aligned}$$
可计算出新的哈密顿量为
$$\begin{aligned}
\mathbf{H}_2&=U_2\mathbf{H}U_2^\dagger+i\hbar\frac{dU_2}{dt}U_2^\dagger\\
&=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}-\delta&\Omega^\dagger(t)+\Omega(t)e^{-2i\omega t}\\\Omega(t)+\Omega^\dagger(t)e^{2i\omega t}&\delta\end{pmatrix}\\
&\approx\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}-\delta&\Omega^\dagger(t)\\\Omega(t)&\delta\end{pmatrix}
\end{aligned}$$
最后一式在旋波近似下成立。此表象的好处是比较容易计算态的概率幅。当拉比频率不含时时，我们可以直接对薛定谔方程积分
$$\begin{aligned}
\mathbf{c}(t)&=e^{-i\mathbf{H}_2t/\hbar}\mathbf{c}(0)\\
&=e^{-i\mathbf{n}\cdot\mathbf{\sigma}\Omega t/2}\mathbf{c}(0)
\end{aligned}$$

缀饰表象

在场相互作用表象下，我们再将基矢做一个旋转变换
$$\mathbf{n}_D(t)=T\mathbf{n}_F(t)$$
$T$为一般旋转矩阵
$$T(t)=\begin{pmatrix}
\cos(\theta(t))&-\sin(\theta(t))\\
\sin(\theta(t))&\cos(\theta(t))
\end{pmatrix}$$
那么此时的酉变换为$U_3=T$，且新的哈密顿量为
$$\begin{aligned}
\mathbf{H}_D&=T\mathbf{H_2}T^\dagger+i\hbar\frac{dT}{dt}T^\dagger\\
\end{aligned}$$